Punktprøving

Prinsipp

Før det analoge signalet kan digitaliseres, må det punktprøves (eller samples, av det engelske ord sample), se figur 1. Før punktprøvingen må det analoge signalet i de fleste tilfeller båndbegrenses. Er det analoge signalet f.eks. et tale- eller musikk-signal, foretas båndbegrensningen av et lavpassfilter.

Fig. 1. Blokkdiagram for A/D-omforming

Etter samplingen følger den egentlige A/D-omforming. Denne kan deles i to prosesser, kalt kvantisering og koding. Disse prosessene er imidlertid så nært knyttet sammen at det ofte ikke skilles mellom dem. Men av forståelsesmessige årsaker er det nødvendig med et skille: uten kvantisering, ingen koding og heller ingen A/D-omforming.

Kvantisering henleder på mengdeoppdeling, m.a.o. den oppdeling i tallverdier som må gjøres for å kunne representere en verdi (f.eks. en analog spenningsstørrelse) i et tall. Kvantisering representerer m.a.o. en tilnærming, idet antall verdier må være endelig.

Forskjellen mellom et analogt og digitalt system er viktig. Begrensningen for et analogt signal vil være signal/støy-forholdet, mens begrensningen for et digitalt signal vil være antallet tallverdier signalet representeres ved (såfremt utstyrings/klippe-grensen ikke nås).

Når signalet er blitt digitalisert, kan det behandles videre på flere forskjellige måter, alt etter anvendelse. Mulighetene er mange, begrensningen ligger i kompleksiteten og kostnadene på de etterfølgende ledd. Et eksempel på videre behandling av det digitale signalet kan være videre koding for overføring over store avstander.

Dekoding av det digitale signalet til et analogt, foregår i D/A-omformeren, der den digitale tallverdien omsettes til en analog spenningsverdi, se figur 2.

Fig. 2. Blokkdiagram for D/A-omforming

Denne omformingen skjer normalt uten kvantisering, det finnes imidlertid eksempel på at kvantisering må foretas. Ofte brukes et kretsløp til å holde og avtaste den analoge spenningsverdien fra D/A-omformeren. Dette er teoretisk unødvendig, men brukes til å fjerne uønskede restprodukter fra omformeren. Da det analoge signalet vil være trappetrinnsformet fra D/A-omformeren, må det filtreres. Et analogt lavpassfilter benyttes i de fleste tilfeller til dette formål.

Punktprøving

Første trinn i digitaliseringen av analoge signaler er punktprøving, se figur 3. Matematisk sett består samplingsprosessen i at det analoge signalet a(t) multipliseres med et periodisk impulstog s(t), kalt samplingssignalet, slik at resultatet p(t) blir:

(1)

Fig. 3. Samplingsprosessen i tidsplanet.

Det (analoge) samplede signalet p(t) blir et impulstog, hvor de enkelte impulser er veid med verdien av det analoge signalet a(t) til det tidspunktet hvor impulsen opptrer. Dette tidspunktet kalles samplingstidspunktet. Intervallet mellom to påfølgende samplingstidspunkter kalles samplingsintervallet T_s. Samplingsfrekvensen f_s = 1/T_s er konstant. M.a.o. veies verdien av det analoge signalet til diskrete, periodisk gjentatte tidspunkter, og alle mellomliggende verdier settes lik null.

Tidsdiskretisering

Punktprøvingssignalet kan i praksis være som vist i figur 4.

Fig. 4. Periodisk punktprøvingssignal.

Punktprøvingssignalet c(t) kan utvikles i Fourier-rekke:

(2)

hvor de komplekse Fourier-koeffisientene er gitt ved:

(3)

For at ikke amplitudeverdien til det analoge signalet skal rekke å endre seg ved punktprøvingstidspunktet, bør bredden av pulsene være så liten som mulig.

Dersom vi holder arealet h× t av pulsene konstant mens vi lar bredden av dem gå mot null, vil punktprøvingen foregå v.h.a. Dirac deltafunksjonen, også kjent som enhetsimpulsfunksjonen, definert ved:

(4)

Koeffisientene i rekkeutviklingen for c(t) i (3) for h× t = 1 blir dermed:

(5)

Uttrykket for punktprøvingssignalet c(t) i (2) blir da:

(6)

Samplingssignalet s(t) kan nå også uttrykkes som en uendelig sum av tidsforskjøvede enhetsimpulser:

(7)

der d (t) er Dirac's impulsfunksjon og T_s er punktprøvingsintervallet, T_s = 1/f_s. Bemerk at (6) og (7) er ekvivalente.

Når samplingssignalet s(t) består av en uendelig sum av tidsforskjøvede enhetsimpulser, refereres det til punktprøvingen som ideell.

Uttrykket for det punktprøvede signalet vil bli:

(8)

Ved ideell sampling kan (8) skrives som:

(9)

For å holde begrepene klare, må det poengteres at det samplede signalet p(t) ikke er noe digitalt signal, men en modulert form av det opprinnelige analoge signalet a(t).

Ved betraktning av figur 3 ses at jo oftere det analoge signalet samples (jo høyere samplingsfrekvens f_s), desto bedre blir tilnærmelsen til det analoge signalet. Omvendt ses at dersom samplingsfrekvensen er for lav, vil informasjon tapes dersom det analoge signalet rekker å forandre seg for mye mellom to påfølgende samplingstidspunkter. Rent intuitivt ses derfor at samplingsfrekvensen og det analoge signalets båndbredde må være relatert til hverandre. Av denne grunn må det analoge signalet båndbegrenses (lavpassfiltreres) før punktprøvingen, slik at det ikke inneholder for høye frekvenskomponenter i forhold til punktprøvingsfrekvensen.

Det kan kanskje virke som om det samplede analoge signalet alltid vil være en mer eller mindre god tilnærmelse til det opprinnelige båndbegrensede analoge signalet. Men som det vil fremgå senere, kan det samplede analoge signalet under visse forutsetninger gjenskapes eksakt.

Frekvensspekter

Frekvensspekteret for samplingssignalet s(t) gitt ved (6), kan finnes ved Fourier-transformasjon:

(10)

idet d (f) er lik den Fourier-transformerte av 1. Bemerk forøvrig analogien til s(t) i (7). Amplitudespektret S(f) er også en periodisk gjentagelse av impulser, men nå i frekvensplanet, og perioden er T_s, samplingsfrekvensen f_s, se figur 5.

Fig. 5. Samplingsprosessen i frekvensplanet.

Frekvensspekteret for det punktprøvede signalet p(t) i (9) kan finnes direkte ved Fouriertransformasjon:

(11)

Amplitudespektret A(f) for a(t) vil selvsagt variere med informasjonssignalets variasjon i tidsplanet. Det har derfor ikke noen hensikt å utlede noe matematisk uttrykk for A(f). Imidlertid er det en del karakteristiske egenskaper ved A(f) som kan observeres, se figur 5. Hvis a(t) lavpassfiltreres, vil A(f) ikke ha noe spektrum over f_max, som er den øvre frekvensen for signalet som slipper gjennom lavpassfilteret. A(f) vil også ha et kontinuerlig spektrum under f_max dersom alle frekvenser er representert i signalet a(t).

Fra (1) fremgikk det at p(t) ble funnet som multiplikasjon av a(t) og s(t). Siden multiplikasjon i tidsplanet impliserer foldning i frekvensplanet ved Fourier-transformasjon, fås dermed:

(12)

At spekteret til den opprinnelige funksjonen A(f) blir gjentatt rundt frekvenser som er et helt multiplum av samplingsfrekvensen f_s, skyldes at den Fourier-transformerte av Dirac deltafunksjonen er lik en. Ligningene (11) og (12) er derfor ekvivalente.

Spektral overlapping

Av figur 5 fremgår at det må stilles krav til båndbredden for amplitudespektret A(f) relativt samplingsfrekvensen. Dersom A(f) er båndbegrenset til å inneholde frekvenskomponenter innenfor intervallet fra - f_max til +f_max, ses det av figuren at kravet må være:

(13)

M.a.o. må det forlanges at samplingsfrekvensen er minst dobbel så høy som den høyest forekommende frekvensen i det signalet som skal samples. Dette kalles Nyquist`s samplingsteorem. Punktprøvingen kalles Nyquist-sampling når den foretas ved den lavest brukbare frekvensen, gitt ved:

(14)

Hvis samplingsteoremet er oppfylt, kan det i teorien la seg gjøre å gjenskape det opprinnelige analoge signalet eksakt, forutsatt en lavpassfiltrering som lar basisbåndet være intakt.

Dersom teoremet derimot ikke er oppfylt, vil det oppstå spektral overlapping ('aliasing') mellom de periodiske gjentagelsene av A(f). Denne spektrale overlappingen umuliggjør at A(f), og dermed det opprinnelige analoge signalet a(t), kan gjenskapes fra P(f) ved en lavpassfiltrering, se figur 6.

Fig. 6. Spektral overlapping.

Teoretisk sett kan et tidsbegrenset signal ikke være båndbegrenset. For å sikre at samplingsteoremet er oppfylt, blir som nevnt det opprinnelige analoge signalet lavpassfiltrert før samplingen. Av ovenstående følger at lavpassfiltret har navnet anti-aliasing filter.

Sample & hold

De enkelte pulser i p(t) (figur 3 tegnet på nytt i figur 7) gjenkjennes som et amplitudekontinuerlig tidsdiskret signal og kodes derfor som oftest til et binært data-ord, bestående av et visst antall bit, før det ferdige pulskodemodulerte digitale signalet (PCM signal) foreligger. Denne kvantiseringen og kodingen foretas i Analog/Digital (A/D) -omformeren.

Fig. 7. Samplingsprosessen i tidsplanet med samplings- og holdekrets.

I det ideelle matematiske tilfellet består det samplede analoge signalet p(t) av en serie av uendelig korte impulser av varierende vekt, se figur 7. Dette signalet kan imidlertid ikke tilføres A/D-omformeren, da kvantiseringen og kodingen her tar en viss tid. Signalet kan heller ikke realiseres i praksis, da en virkelig puls må ha en endelig amplitude og en gitt varighet større enn null.

I praksis brukes et samplings- og holdekretsløp. Dette fastholder verdien av det analoge signalet a(t) fra et samplingstidspunkt til det neste, m.a.o. over tiden T_s. Dette signalet m(t) (se figur 7) kalles et trappetrinnsignal og er ikke noe egentlig pulsamplitudemodulert (PAM) signal, idet varigheten av hver puls (med konstant amplitude) for et egentlig PAM-signal er mindre enn samplingsintervallet T_s.

Trappetrinnsignalet m(t) kan tenkes fremkommet ved filtrering av det samplede signalet p(t) i et filter med impulsresponsen:

(15)

Impulsresponsen er filterets utgangssignal når inngangen påtrykkes en enhetsimpuls d(t), gitt av (4). Utgangssignalet kan beregnes ved bruk av foldning:

(16)

Høyre side her gir foldningsintegralet:

(17)

Istedenfor impulsresponsen h(t) i tidsplanet benyttes den Fourier-transformerte for beregninger i frekvensplanet. Overføringsfunksjonen H(f) er gitt ved:

(18)

Idet m(t) er et resultat av foldning mellom h(t) og p(t), fremgår det av det ovenstående at M(f), som er amplitudespektret for m(t), kan finnes som:

(19)

idet foldning i tidsplanet gir multiplikasjon i frekvensplanet. Sammenhengen mellom utgangssignal og inngangssignal er således lett å finne når overføringsfunksjonen H(f) for et lineært system er kjent. Amplitudespektrene er vist i figur 8.

Fig. 8. Samplingsprosessen i frekvensplanet med samplings- og holdekrets.

D/A-Omforming

I teorien kan det opprinnelige lavpassfiltrerte analoge signalet gjenskapes ut fra det samplede signalet ved filtrering i et ideelt lavpassfilter med amplitudekarakteristikken:

(20)

Filteret må dessuten ha lineær fasekarakteristikk (konstant gruppeløpetid). Spekteret |L(f)| er vist i figur 9 sammen med spektrene for signalene p(t) og a(t). Bemerk at ideell filtrering av det samplede signalet p(t) medfører at det opprinnelige lavpassfiltrerte analoge signalet a(t) kan gjenskapes eksakt.

Fig. 9. D/A-omforming i frekvensplanet.

I praksis brukes et samplings- og holdekretsløp. Det resulterende trappetrinnsformede signalet har amplitudespektret M(f) vist i figur 9. Som det fremgår av figuren, er også det opprinnelige spektrum for M(f) omkring f = f_max blitt dempet noe. For at det opprinnelige lavpassfiltrerte analoge signalet a(t) kan gjenskapes eksakt, må dette kompenseres f.eks. ved at den ideelle lavpassfiltrering modifiseres slik at filterets amplitudekarakteristikk gis et løft nær grensefrekvensen.

Pulskodedemodulasjon

Dersom det analoge signalet skal digitaliseres, for rett og slett å kunne overføres digitalt, er gjenvinning v.h.a. ideell lavpassfiltrering imidlertid bare av akademisk interesse. I tillegg kommer at verken det ideelt samplede signalet eller det ideelle lavpassfilteret kan realiseres i praksis.

Ved pulskodedemodulasjon benyttes en Digital/Analog (D/A)-omformer for å omforme det digitale signalet til et analogt, se figur 10. Denne omformeren omsetter de enkelte dataord på parallell eller seriell form til en strøm eller spenning som er proporsjonal med data-ordets verdi. I det ideelle tilfellet er utgangssignalet fra D/A-omformeren et PAM-signal, men da det tar en viss tid fra omformingen av et data-ord begynner til utgangssignalet har innstilt seg til riktig verdi (settling time), etterfølges D/A-omformeren ofte av et samplings- og holdekretsløp. Dette avtaster D/A-omformerens utgangssignal når det er stabilt og fastholder denne verdien til neste data-ord er blitt omformet og stabilt.

Fig. 10. Pulskodedemodulasjon.

Amplitudespektret M(f) av utgangssignalet m(t) fra samplings- og holdekretsløpet er vist i figur 9. Som det skjønnes, kan dette signalet oppfattes på samme vis som på kodingssiden, d.v.s. som en lavpassfiltrering av det samplede signalet i et filter med impulsresponsen h(t) vist i figur 7 og amplitudekarakteristikken H(f) vist i figur 8. Som tidligere nevnt, er også det opprinnelige spektrum for M(f) omkring f =f_max blitt dempet noe (se figur 9). Lavpassfiltreringen, der filterets amplitudekarakteristikk gis et løft nær grensefrekvensen, kan nå eventuelt realiseres som en kombinasjon av et analogt og et digitalt filter.

I alle tilfeller må signalet m(t) fra samplings- og holde krets-løpet etterfølges av et lavpassfilter. Dette går ofte under navnet anti-imaging filter. Dette skyldes at spekteret |M(f)| inneholder frekvenskomponenter rundt multipler av samplingsfrekvensen som kan blande seg med komponenter i etterfølgende ledd og transponeres (speiles) til nyttesignalets frekvensbånd.

Lavpassfiltreringen er omtrent like vanskelig å realisere som på kodingssiden. Ideelle filtre lar seg ikke realisere, men kombinasjonen av digitale og analoge filtre kan gi gode resultater, forutsatt at samplingsfrekvensen ikke blir for høy.